Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，半徑BO與AC相交于點D，BO的延長線與⊙O交于點F，與過點C的切線NC交于點M，過點D作DE⊥BC，垂足為E，連接CF，已知MF=FC．

（1）求證：∠M=30°；

（2）①若=，求的值；

②當△DEC的面積是它最大值的時，求的值．

（3）若DE=AB，試判斷點D所在的位置．（請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．（2）①=，②=．（3）點D與點O重合．

【解析】

（1）連接OC，只要證明△FOC是等邊三角形即可解決問題．
（2）①設OB=r，則DC=OB=r．作CH⊥BF于點H．想辦法求出OD，OB即可解決問題．
②設⊙O的半徑為r，DE=x，△DEC的面積為s．構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可．
（3）連接OA．作OG⊥AB于G．由△GOB≌△EDC（AAS），推出OB=CD=OC，由∠BOC=∠OCM+∠M＞90°，推出D，O，C三點無法構成等腰三角形，推出點D與點O重合．

解：（1）連接OC．

∵MN是切線，

∴∠MCO=90°，

∴∠MOC+∠M=90°=∠FCM+∠OCF，

∵MF=FC，

∴∠M=∠FCM，

∴∠MOC=∠OCF，

∴OF=CF=OC，

∴△FOC是等邊三角形，

∴∠FOC=60°，

∴∠M=30°．

（2）①設OB=r，則DC=OB=r．

作CH⊥BF于點H．

由（1）可知∠BFC=60°，FC=FO=OB=r，

∴∠FCH=30°，

在Rt△FCH中，FH=FC=，CH=r，

∴OH=r，

在Rt△CDH中，DH2+CH2=CD2，

∴DH2+（r）2=（r）2，

∴DH=r，

∴OD=DH-OH=r，∴=．

②設⊙O的半徑為r，DE=x，△DEC的面積為s．

由（1）可知∠B=∠FOC=30°，

∵DE⊥BC，

∴BE=x，由垂徑定理可得BC=r，

∴s=x（r-x）=-x2+rx．

∴當x=r時，s有最大值，最大值=r2，

當s=×r2=r2時，-x2+rx=r2，

化簡得到：9x2-9rx+2r2=0，

解得x=r或r，

∵x=DE=BD≤r，

∴r=r，

在Rt△DEC中，CD2=DE2+EC2=（r）2+（r-r）2=r2，

∴CD=r，

∴=．

（3）連接OA．作OG⊥AB于G．

由垂徑定理可知：GB=AB，∠GOB=∠AOB，

∵∠DCE=∠AOB，DE=AB，

∴∠GOB=∠DCE，G=DE，

∵∠DGB=∠CED=90°

∴△GOB≌△EDC（AAS），

∴OB=CD=OC，

∵∠BOC=∠OCM+∠M＞90°，

∴D，O，C三點無法構成等腰三角形，

∴點D與點O重合．