Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，，連結AC，過點C作直線l∥AB，點P是直線l上的一個動點，直線PA與⊙O交于另一點D，連結CD，設直線PB與直線AC交于點E．

（1）求∠BAC的度數；

（2）當點D在AB上方，且CD⊥BP時，求證：PC=AC；

（3）在點P的運動過程中

①當點A在線段PB的中垂線上或點B在線段PA的中垂線上時，求出所有滿足條件的∠ACD的度數；

②設⊙O的半徑為6，點E到直線l的距離為3，連結BD，DE，直接寫出△BDE的面積．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）見解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°

②36或．

【解析】試題分析：（1）易得△ABC是等腰直角三角形，從而∠BAC=∠CBA=45°；

（2）分當 B在PA的中垂線上，且P在右時；B在PA的中垂線上，且P在左；A在PB的中垂線上，且P在右時；A在PB的中垂線上，且P在左時四中情況求解；

（3）①先說明四邊形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的長，然后利用割補法求面積；②根據△EPC∽△EBA可求PC=4，根據△PDC∽△PCA可求PD PA=PC2=16，再根據S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面積公式求解.

（1）解：（1）連接BC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°.

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠CBA=45°；

（2）解：∵，∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，

∴CD平分∠BDP

又∵CD⊥BP，∴BE=EP，

即CD是PB的中垂線，

∴CP=CB= CA，

（3）① （Ⅰ）如圖2，當 B在PA的中垂線上，且P在右時，∠ACD=15°；

（Ⅱ）如圖3，當B在PA的中垂線上，且P在左，∠ACD=105°；

（Ⅲ）如圖4，A在PB的中垂線上，且P在右時∠ACD=60°；

（Ⅳ）如圖5，A在PB的中垂線上，且P在左時∠ACD=120°

②（Ⅰ）如圖6， ,

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（Ⅱ）如圖7， ,

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設BD=9k,PD=2k,

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