Question

已知平行四邊形ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,AC=10,BD=8．

（1）若AC⊥BD,試求四邊形ABCD的面積;
（2）若AC與BD的夾角∠AOD=60°,求四邊形ABCD的面積;
（3）試討論：若把題目中“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD”,且∠AOD=θ,AC=a,BD=b,試求四邊形ABCD的面積（用含θ,a,b的代數式表示）．

Answer 1

（1）四邊形ABCD的面積=40;
（2）四邊形ABCD的面積S=4S_△AOD=20;
（3）四邊形ABCD的面積=absinθ．

試題分析：（1）因為AC⊥BD,所以四邊形ABCD的面積等于對角線乘積的一半;
（2）過點A分別作AE⊥BD,CF⊥BD,根據平行四邊形對角線互相平分和正弦定理求出△AOD的面積,那么四邊形ABCD的面積=4△AOD的面積;
（3）作輔助線AE⊥BD,CF⊥BD,利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高,那么四邊形ABCD的面積=△BCD的面積+△ABD的面積．
試題解析：（1）∵AC⊥BD,
∴四邊形ABCD的面積=AC•BD=40;
（2）分別過點A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F．   
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AO=CO=AC=5,BO=DO=BD=4．
在Rt△AOE中,sin∠AOE=,
∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×=．
∴S_△AOD=OD•AE=×4××5=5．
∴四邊形ABCD的面積S=4S_△AOD=20;
（3）如圖所示,過點A,C分別作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F．

在Rt△AOE中,sin∠AOE=,
∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．
同理可得
CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ．
∴四邊形ABCD的面積
S=S_△ABD+S_△CBD=BD•AE+BD•CF
=BDsinθ（AO+CO）
=BD•ACsinθ
=absinθ．