Question

【題目】如果關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．

（1）說明方程x2－3x+2＝0是倍根方程；

（2）說明：若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，則4m2＋5mn＋n2＝0；

（3）如果方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相異兩點M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在拋物線y＝ax2＋bx＋c上，試說明方程ax2＋bx＋c＝0的一個根為.

Answer 1

【答案】（1）理由見解析；（2）理由見解析；（3）理由見解析.

【解析】試題分析：（1）解得方程后即可利用倍根方程的定義進行判斷；

（2）根據（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，從而得到m+n=0，4m+n=0，進而得到4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0；

（3）由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=3x2，由相異兩點M（1+t，s），N（4-t，s）都在拋物線y=ax2+bx+c上，通過拋物線對稱軸求得x1的值.

試題解析：（1）解方程x2-3x+2=0得：x1=2，x2=1，

∴方程x2-3x+2=0是倍根方程.

（2）∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-，

∴=-1，或=-4，

∴m+n=0，4m+n=0，

∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，

（3）∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，

∴設x1=2x2，

∵相異兩點M（1+t，s），N（4-t，s）都在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴拋物線的對稱軸x=，

∴x1+x2=5，

∴x2+2x2=5，

∴x2=．