Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=﹣ x2+ x+2的圖象與x軸交于點A，B（點B在點A的左側），與y軸交于點C．過動點H（0，m）作平行于x軸的直線l，直線l與二次函數y=﹣ x2+ x+2的圖象相交于點D，E．

（1）寫出點A，點B的坐標；
（2）若m＞0，以DE為直徑作⊙Q，當⊙Q與x軸相切時，求m的值；
（3）直線l上是否存在一點F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，有 ，

解得：x1=4，x2=﹣1，

∴A、B兩點的坐標分別為（4，0）和（﹣1，0）．

（2）

解：∵⊙Q與x軸相切，且與 交于D、E兩點，

∴圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點處，

∵拋物線的對稱軸為 ，⊙Q的半徑為H點的縱坐標m（m＞0），

∴D、E兩點的坐標分別為：（ ﹣m，m），（ +m，m）

∵E點在二次函數 的圖象上，

∴ ，

解得 或 （不合題意，舍去）．

（3）

解：存在．

①如圖1，

當∠ACF=90°，AC=FC時，過點F作FG⊥y軸于G，

∴∠AOC=∠CGF=90°，

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，

∴∠ACO=∠CFG，

∴△ACO≌△CFG，

∴CG=AO=4，

∵CO=2，

∴m=OG=2+4=6；

反向延長FC，使得CF=CF′，此時△ACF′亦為等腰直角三角形，

易得yC﹣yF′=CG=4，

∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．

②如圖2，

當∠CAF=90°，AC=AF時，過點F作FP⊥x軸于P，

∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，

∴∠ACO=∠FAP，

∴△ACO≌△∠FAP，

∴FP=AO=4，

∴m=FP=4；

反向延長FA，使得AF=AF′，此時△ACF’亦為等腰直角三角形，

易得yA﹣yF′=FP=4，

∴m=0﹣4=﹣4．

③如圖3，

當∠AFC=90°，FA=FC時，則F點一定在AC的中垂線上，此時存在兩個點分別記為F，F′，

分別過F，F′兩點作x軸、y軸的垂線，分別交于E，G，D，H．

∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，

∴∠DFC=∠EFA，

∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，

∴△CDF≌△AEF，

∴CD=AE，DF=EF，

∴四邊形OEFD為正方形，

∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，

∴4=2+2CD，

∴CD=1，

∴m=OC+CD=2+1=3．

∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，

∴∠HF′C=∠GF′A，

∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，

∴△HF′C≌△GF′A，

∴HF′=GF′，CH=AG，

∴四邊形OHF′G為正方形，

∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，

∴OH=1，

∴m=﹣1．

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴y的最大值為 ．

∵直線l與拋物線有兩個交點，∴m＜ ．

∴m可取值為：﹣4、﹣2、﹣1或3．

綜上所述，直線l上存一點F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值為﹣4、﹣2、﹣1或3．

【解析】（1）A、B兩點的縱坐標都為0，所以代入y=0，求解即可．（2）由圓和拋物線性質易得圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點處，則Q的橫坐標為 ，可推出D、E兩點的坐標分別為：（ ﹣m，m），（ +m，m）．因為D、E都在拋物線上，代入一點即可得m．（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重點的需要明白有幾種情形，分別以三邊為等腰三角形的兩腰或者底，則共有3種情形；而三種情形中F點在AC的左下或右上方又各存在2種情形，故共有6種情形．求解時．利用全等三角形知識易得m的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�