Question

【題目】【問題情境】

已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？

【數學模型】

設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數表達式為y=2（x+）（x＞0）．

【探索研究】

小彬借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x+的圖象性質．

（1）結合問題情境，函數y=x+的自變量x的取值范圍是x＞0，下表是y與x的幾組對應值．

x	…				1	2	3	m	…
y	…	4	3	2	2	2	3	4	…

①寫出m的值；

②畫出該函數圖象，結合圖象，得出當x=　 　時，y有最小值，y最小=　 　；

提示：在求二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．試用配方法求函數y=x+（x＞0）的最小值，解決問題（2）

【解決問題】

（2）直接寫出“問題情境”中問題的結論．

Answer 1

【答案】（1）①m=4; ②見解析；（3）長為時，它的周長最小，最小值是4．

【解析】試題分析：（1）①觀察表格，即可得結論；②根據完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，進行配方即可得到最小值；（2）根據完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，將y=2（x+）進行配方得到y=2[()2+2 ]，即可求出答案．

試題解析：

（1）①由題意m=4．

②函數y=x+的圖象如圖：

觀察圖象可知，當x=1時，函數y=x+（x＞0）的最小值是2．

故答案為1，2．

y=x+==+2

∵x＞0，所以≥0，

所以當x=1時，的最小值為0，

∴函數y=x+（x＞0）的最小值是2．

（2）∵y=2[（﹣）2+2]=2（﹣）2+4，

∴當span>=時，y的值最小，最小值為4，

∴當x=時，y的值最小，最小值為4，

答：矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值是4．