Question

（2012•西寧）如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF．
（1）證明：四邊形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面積．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根據菱形的對邊平行且相等以及中點的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得證；
（2）根據勾股定理求出AE的長度，然后利用菱形的面積等于底乘以高計算即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點，
∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），
∴∠1=90°，
∵E、F分別是BC、AD的中點，
∴AF=

1

2

AD，EC=

1

2

BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
又∵∠1=90°，
∴四邊形AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE=

82-42

=4

3

，
所以，S_菱形ABCD=8×4

3

=32

3

．

點評：本題考查了矩形的判定，菱形的性質，平行四邊形的判定，勾股定理的應用，等邊三角形的判定與性質，證明得到四邊形AECF是平行四邊形是解題的關鍵，也是突破口．