Question

【題目】如圖1，已知△ABC是邊長為8的等邊三角形，∠EBD＝30°，BE＝DE，連接AD，點F為AD的中點，連接EF．將△BDE繞點B順時針旋轉．

（1）如圖2，當點E位于BC邊上時，延長DE交AB于點G．

①求證：BG＝DE；

②若EF＝3，求BE的長；

（2）如圖3，連接CF，在旋轉過程中試探究線段CF與EF之間滿足的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②2；（2）EC＝EF，EC⊥EF，見解析

【解析】

（1）①想辦法證明△BEG是等邊三角形即可解決問題；②利用三角形的中位線定理求出AG，再求出BG即可解決問題．

（2）結論：EC＝EF，EC⊥EF．延長DF交CA的延長線于M，延長FE到K，使得EK＝EF，連接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，連接BN．證明圖中，紅色三角形全等，推出△CFK是等邊三角形即可解決問題．

（1）①證明：如圖2中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵EB＝ED，

∴∠EBD＝∠EDB＝30°，

∴∠GBD＝∠ABC+∠EBD＝90°，

∴∠BGD＝60°，

∴△BEG是等邊三角形，

∴BG＝BE，

∴BG＝ED．

②解：由①可知，BG＝GE＝BE＝DE，

又∵AF＝DF，

∴AG＝2EF＝6，

∵AB＝8，

∴BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2，

∴BE＝BG＝2．

（2）結論：EC＝EF，EC⊥EF．

理由：如圖2中，延長DF交CA的延長線于M，延長FE到K，使得EK＝EF，連接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，連接BN．

∵FB＝FD＝FN，

∴∠DBN＝90°，

∵∠DBF＝30°，

∴∠FBN＝60°，

∴△FBN是等邊三角形，

∴BN＝BF，

∵∠ABC＝∠NBF＝60°，

∴∠ABN＝∠CBF，

∵AB＝BC，

∴△ABN≌△CBF（SAS），

∴AN＝CF，

∵FN＝DF，AE＝ED，

∴EF∥AN，AN＝2EF，

∵2EF＝FK，

∴AN＝FK，AN∥FK，

∴四邊形ANFK是平行四邊形，

∴AK∥DM，AK＝FN＝BN，

∴∠CAK＝∠M，

∵∠AOM＝∠BON，∠OAM＝∠BNO＝120°，

∴∠M＝∠OBN，

∴∠ABN＝∠CAK，

∵AB＝AC，

∴△ABN≌△CAK（SAS），

∴AN＝CK，

∴CF＝CK＝FK，

∴△CFK是等邊三角形，∠CFE＝60°

∵2EF＝FK，

∴CE⊥FK，

∵∠EFC＝60°，

∴tan∠CFE＝＝，

∴EC＝EF，EC⊥EF．