Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+b與x軸交于點A、B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）．

（1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標；
（2）過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結果保留根號）
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（1，0）和點C（0，1）在拋物線y=ax2+b上，

∴ ，解得：a=﹣1，b=1，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+1，

拋物線的對稱軸為y軸，則點B與點A（1，0）關于y軸對稱，∴B（﹣1，0）

（2）

解：設過點A（1，0），C（0，1）的直線解析式為y=kx+b，可得：

，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1．

∵BD∥CA，∴可設直線BD的解析式為y=﹣x+n，

∵點B（﹣1，0）在直線BD上，∴0=1+n，得n=﹣1，

∴直線BD的解析式為：y=﹣x﹣1．

將y=﹣x﹣1代入拋物線的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x2+1，解得：x1=2，x2=﹣1，

∵B點橫坐標為﹣1，則D點橫坐標為2，

D點縱坐標為y=﹣2﹣1=﹣3，∴D點坐標為（2，﹣3）．

如答圖①所示，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3，AN=1，BN=3，

在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD= ；

在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD= ；

又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC= ；

∴四邊形ABCD的周長為：AC+BC+BD+AD= + + + = +

方法二

∵A（1，0），C（0，1），∴lAC：y=﹣x+1，

∵BD∥CA，∴KBD=KAC=﹣1，

∴lBD：y=﹣x﹣1，

∴ ，

∴x1=2，x2=﹣1（舍），

∴D（2，﹣3），

∴AC= = ，

CB= = ，

BD= =3 ，

DA= = ，

∴四邊形ABCD的周長為：5 +

（3）

解：假設存在這樣的點P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：

（Ⅰ）若△EPB∽△BDC，如答圖②所示，

則有 ，即 ，∴PE=3BE．

設OE=m（m＞0），則E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，

∴點P的坐標為（﹣m，3﹣3m）．

∵點P在拋物線y=﹣x2+1上，

∴3﹣3m=﹣（﹣m）2+1，解得m=1或m=2，

當m=1時，點E與點B重合，故舍去；當m=2時，點E在OB左側，點P在x軸下方，不符合題意，故舍去．

因此，此種情況不存在；

（Ⅱ）若△EBP∽△BDC，如答圖③所示，

則有 ，即 ，∴BE=3PE．

設OE=m（m＞0），則E（m，0），BE=1+m，PE= BE= （1+m）= + m，

∴點P的坐標為（m， + m）．

∵點P在拋物線y=﹣x2+1上，

∴ + m=﹣（m）2+1，解得m=﹣1或m= ，

∵m＞0，故m=﹣1舍去，∴m= ，

點P的縱坐標為： + m= + × = ，

∴點P的坐標為（ ， ）．

綜上所述，存在點P，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似，點P的坐標為（ ， ）

方法二

∵C（0，1），B（﹣1，0），

∴KBC= =1，

∵KBD=﹣1，∴KBC×KBD=﹣1，

∴BD⊥BC，

若△EPB∽△BDC，則 或 ，

①設點P（t，﹣t2+1），E（t，0），B（﹣1，0），

PE=PY=﹣t2+1，BE=EX﹣BX=t+1，

∵BD=3 ，CB= ， ，

∴ ，

∴t=﹣2（此時點P位于x軸下方，故舍去）

②∵ ，

∴ ，

∴t= ，

∴P（ ， ）

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，點B坐標可由對稱性質得到，或令y=0，由解析式得到；（2）關鍵是求出點D的坐標，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度；（3）本問為存在型問題．可以先假設存在，然后按照題意條件求點P的坐標，如果能求出則點P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．