Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，B為切點，OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E．
（1）求證：∠OPB=∠AEC；
（2）若點C為半圓的三等分點，請你判斷四邊形AOEC為哪種特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90°．
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90°．
∴∠ABC=∠OPB．
又∵∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC．
（2）解：四邊形AOEC是菱形．
∵OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E，∴=．
∵C為半圓ACB¯的三等分點，∴==．
∴∠ABC=∠ECB．∴AB∥CE．
∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC．
又　OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E，
∴AC∥OE．∴四邊形AOEC是平行四邊形．
又　OA=OE，∴四邊形AOEC是菱形．

（1）找中間量∠ABC，利用等角的余角相等證∠ABC=∠OPB，同弧所對的圓周角相等即可
（2）利用用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形及兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可。