Question

如圖，△OAC中，以O為圓心，OA為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足為O，連接AB交OC于點D，∠CAD=∠CDA．
（1）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若OA=5，OD=1，求線段AC的長．

Answer 1

（1）線段AC是⊙O的切線。理由見解析（2）12

解：（1）線段AC是⊙O的切線。理由如下：
∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（對頂角相等），
∴∠BDO=∠CAD（等量代換）。
又∵OA=OB（⊙O的半徑），∴∠B=∠OAB（等邊對等角）。
∵OB⊥OC（已知），∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。
∴線段AC是⊙O的切線。
（2）設AC=x．
∵∠CAD=∠CDA（已知），∴DC=AC=x（等角對等邊）。
∵OA=5，OD=1，∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，AC是⊙O的切線，
∴在Rt△OAC中，根據勾股定理得，OC²=AC²+OA²，即（1+x）²=x²+5²，解得x=12。
∴AC=12．
（1）根據已知條件“∠CAD=∠CDA”、對頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據等腰三角形OAB的兩個底角相等、直角三角形的兩個銳角互余的性質推知
∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。所以線段AC是⊙O的切線。
（2）根據“等角對等邊”可以推知AC=DC，所以由圖形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切線的性質可以在在Rt△OAC中，根據勾股定理來求AC的長度。