Question

【題目】（1）如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,∠AOF＝90°.

求證：BF＝AE.

(2) 如圖2,正方形ABCD邊長(zhǎng)為12，將正方形沿MN折疊，使點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)E處，且DE=5，求折痕MN的長(zhǎng)。

(3) 已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點(diǎn)O,

∠FOH＝90°,EF＝4. 直接寫出下列兩題的答案：

①如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,則 GH=___________；

②如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,則 GH=___________；(用n的代數(shù)式表示).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）13（3）8， 4n

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EAB=∠FBC，然后利用“角邊角”證明△ABE和△BCF全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；

（2）連接AE，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AD于H，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE⊥NM，然后求出∠DAE=∠MNH，再利用“角邊角”證明△ADE和△NHM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=MN，然后利用勾股定理列式求出AE，從而得解；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥BC于N，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．

試題解析：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°

∴∠ EAB+∠AEB=90°．

∵∠EOB=∠AOF=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°，

∴∠EAB=∠FBC

∴△ABE≌△BCF，∴AE = BF

(2)連結(jié)AE,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AD,證明△MNH≌EAD

∴MN=AE

由勾股定理得AE=13, ∴MN=13

（3）8． 4n