Question

【題目】如圖：拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點D，頂點為M，且DM=OC+OD，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P（x，y）是第一象限內該拋物線上的一個動點，△PCD的面積為S，求S關于x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求當x取多少時，S的值最大，最大是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OC=4，OD=2，

∴DM=6，

∴點M（2，6），

設y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣ ，

∴該拋物線解析式為y=﹣ （x﹣2）2+6

（2）解：設點P（x，﹣ （x﹣2）2+6），即（x，﹣ x2+2x+4），

過點P作x軸的垂線，交直線CD于點F，

設直線CD為y=kx+4，代入（2，0）得k=﹣2，即y=﹣2x+4，

∴點F（x，﹣2x+4），

∴PF=﹣ x2+2x+4﹣（﹣2x+4）=﹣ x2+4x，

∴S= 2（﹣ x2+4x）=﹣ x2+4x，

令y=a（x﹣2）2+6=0，

解得x1=2+2 ，x2=2﹣2 （舍去），

∴0＜x＜2+2 ，

∵S=﹣ x2+4x=﹣ （x﹣4）2+8，

∴當x=4時，S有最大值為8．

【解析】（1）由OC與OD的長，求出MD的長，確定出M坐標，設y=a（x﹣2）2+6，把C坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；（2）由拋物線解析式設出P坐標，過點P做x軸的垂線，交直線CD于點F，利用待定系數法求出直線CD解析式，進而表示出F坐標，得到PF的表達式，表示出S與x的函數解析式，利用二次函數性質求出S最大值時x的值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)．