Question

【題目】如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AGAB=12，求AC的長；

（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：連接CD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠ADC=90°，

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，

∴∠PAC=∠ADC，

∴∠CAD+∠PAC=90°，

∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，

∴PA是⊙O的切線

（2）

解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，

∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，

∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，

∴△CAG∽△BAC，

∴ = ，

即AC2=AGAB，

∵AGAB=12，

∴AC2=12，

∴AC=2

（3）

解：設AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，

∴AD=AF+FD=3x，

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AFAD，

即3x2=12，

解得；x=2，

∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3，

在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，

根據勾股定理得：AG= = = ，

由（2）知，AGAB=12，

∴AB= = ，

連接BD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB= ，AD=6，

∴sin∠ADB= ，

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，

∴sin∠ACE= ．

【解析】（1）根據圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC2=AGAB，求出AC即可；（3）先求出AF的長，根據勾股定理得：AG= ，即可得出sin∠ADB= ，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．