Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．

（1）求證： = ；
（2）設EF的長為x．
①當x為何值時，矩形EFPQ為正方形？
②當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：∵四邊形EFPQ是矩形，

∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，∠AHF=∠ADC，

又∵AD是高，

∴∠AHF=∠ADC=90°，即AH是△AEF的高．

∴ ；

（2）

解：①若矩形EFPQ為正方形，則HD=EQ=EF=x．

∴AH=AD﹣HD=8﹣x．

又∵ ，BC=10，

∴ ．

解得 ．

∴當 時，矩形EFPQ為正方形；

②∵HD=EQ，AD=8，

∴AH=AD﹣HD=8﹣EQ．

又∵ ，EF=x，BC=10，

∴ ．

∴ ．

∴S矩形EFPQ= ．

∵S矩形EFPQ= （0＜x＜10），

∴當x=5時，S矩形EFPQ有最大值為20．

∴當x=5時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為20

【解析】（1）根據矩形的性質得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根據相似三角形的性質推出即可；（2）①根據正方形的性質可知HD=EQ=EF，令HD=EQ=EF=x；利用相似三角形的性質可得 ，可得x的值；②根據矩形的面積公式，可以把面積表示成關于EF的長的函數，根據函數的性質即可求解．
【考點精析】掌握關于仰角俯角問題是解答本題的根本，需要知道仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角．