Question

【題目】如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧 于點D，連接CD、OD．下列結論：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED=∠AOD；④CD=DE．其中正確結論的個數有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵AB是半圓直徑， ∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．②過點E作EF⊥AC，

∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②錯誤．③∵在△ODE和△ADO中，
∠DEO=90°+∠DAO，
∠AOD=90°+∠COD，
∵∠DAO= ∠COD，
∴③∠OED=∠AOD錯誤；④作ON⊥CD，

∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD= ×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∠AEO=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠CED=67.5°，
∴CD=DE，
∴④正確．
綜上所述，只有①④正確．
故選：B．
【考點精析】認真審題，首先需要了解垂徑定理(垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧)，還要掌握圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)的相關知識才是答題的關鍵．