Question

【題目】菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF=60°
（1）如圖1，當點E是CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；
（2）如圖2，當點E在CB的延長線上時，且∠EAB=15°，求點F到BC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，如圖1中，∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAE，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF，

∴BE=CF

（2）解：如圖2中，過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，

∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，

∴∠AEB=45°，

在RT△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，

∴BG= AB=2，AG= BG=2 ，

在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2 ，

∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，

∵△AEB≌△AFC，

∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，

在RT△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2 ﹣2，

∴FH=CFsin60°=（2 ﹣2） =3﹣ ．

∴點F到BC的距離為3﹣

【解析】（1）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．（2）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據FH=CFcos30°，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．