Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是直線.

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使的周長最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（）根據(jù)對(duì)稱軸和點(diǎn)A坐標(biāo)列方程組求出b、c的值即可得答案；（2）設(shè)C點(diǎn)為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)P，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得PA=PC，點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可得P點(diǎn)即為所求，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，把x=2代入即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由題意得，

解得.

∴拋物線解析式為.

（2）設(shè)C點(diǎn)為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x=2對(duì)稱，A（1，0）

∴PA=PC，C（3，0）

∵兩點(diǎn)之間，線段最短，

∴PA+PB+AB=BC+AB，即△PAB的周長為最小值.

∵x=0時(shí)，y=3，

∴B（0，3），

設(shè)直線的解析式為，

，

∴.

∴.

當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+3=1

∴.

即存在點(diǎn)P，使的周長最小，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，1）.