Question

【題目】已知，，，斜邊，將繞點順時針旋轉，如圖1，連接．

（1）填空：　　；

（2）如圖1，連接，作，垂足為，求的長度；

（3）如圖2，點，同時從點出發，在邊上運動，沿路徑勻速運動，沿路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止，已知點的運動速度為1.5單位秒，點的運動速度為1單位秒，設運動時間為秒，的面積為，求當為何值時取得最大值？最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）x時，y有最大值，最大值．

【解析】

（1）只要證明△OBC是等邊三角形即可；

（2）求出△AOC的面積，利用三角形的面積公式計算即可；

（3）分三種情形討論求解即可解決問題：①當0＜x時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時過點N作NE⊥OC且交OC于點E．②當x≤4時，M在BC上運動，N在OB上運動．③當4＜x≤4.8時，M、N都在BC上運動，作OG⊥BC于G．

（1）由旋轉性質可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC＝60°．

故答案為：60．

（2）如圖1中。

∵OB＝4，∠ABO＝30°，

∴OAOB＝2，ABOA＝2，

∴S△AOCOAAB2×2．

∵△BOC是等邊三角形，

∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，

∴AC，

∴OP．

（3）①當0＜x時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時過點N作NE⊥OC且交OC于點E．

則NE＝ONsin60°x，

∴S△OMNOMNE1.5xx，

∴yx2，

∴x時，y有最大值，最大值．

②當x≤4時，M在BC上運動，N在OB上運動．

作MH⊥OB于H．

則BM＝8﹣1.5x，MH＝BMsin60°（8﹣1.5x），

∴yON×MHx2+2x．

當x時，y取最大值，y，

③當4＜x≤4.8時，M、N都在BC上運動，

作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2，

∴yMNOG＝12x，

當x＝4時，y有最大值，最大值＝2．

綜上所述：y有最大值，最大值為．