Question

【題目】如圖①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，點D在AB邊上且∠ADC=45°．

（1）求∠BCD的度數；

（2）將圖①中的△BCD繞點B順時針旋轉，得到△BC′D′．當點D′恰好落在BC邊上時，如圖②所示，連接C′C并延長交AB于點E．

①求∠C′CB的度數；

②求證：△C′BD′≌△CAE．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）①75°；②答案見解析．

【解析】試題分析：（1）根據三角形外角性質，即可得到∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°；

（2）①由旋轉可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，再根據等腰三角形的性質，即可得到∠CC'B=∠C'CB=75°；

②先根據AC=C'B，∠C'BD'=∠A，得出∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，進而得到∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°，據此可得∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，運用ASA即可判定△C'BD'≌△CAE．

試題解析：解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，∴∠CBA=∠CAB=30°．∵∠ADC=45°，∴∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°=∠BC'D'；

（2）①由旋轉可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，∴∠CC'B=∠C'CB=75°；

②證明：∵AC=C'B，∠C'BD'=∠A，∴∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，∴∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°，∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE．在△C'BD'和△CAE中，，∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．