Question

【題目】如圖，在△ABC中，4AB=5AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，FG=FD，連接EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則 的值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：已知AD為角平分線，則點D到AB、AC的距離相等，設為h． ∵ = = = = ，
∴BD= CD．
如圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM=AB，則有AC=4CM．連接DM．
在△ABD與△AMD中，

∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD= CD．
過點M作MN//AD，交EG于點N，交DE于點K．

∵MN//AD，
∴ = = ，
∴CK= CD，
∴KD= CD．
∴MD=KD，即△DMK為等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN//AD，
∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（對頂角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM//GN，
∴四邊形DMNG為平行四邊形，
∴MN=DG=2FD．
∵點H為AC中點，AC=4CM，
∴ = ．
∵MN//AD，
∴ = ，即 ，
∴ = ．
故答案為： ．
方法二：
如圖，有已知易證△DFE≌△GFE，

故∠5=∠B+∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠，
所以∠3=∠B，則可證△AGH∽△ADB
設AB=5a，則AC=4a，AH=2a，
所以AG/AD=AH/AB=2/5，而 AD=AG+GD，故GD/AD=3/5，
所以AG：GD=2：3，F是GD的中點，
所以AG：FD=4：3
解題關鍵是作出輔助線，如解答圖所示：
第1步：利用角平分線的性質，得到BD= CD；
第2步：延長AC，構造一對全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：過點M作MN//AD，構造平行四邊形DMNG．由MD=BD=KD= CD，得到等腰△DMK；然后利用角之間關系證明DM//GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；
第4步：由MN//AD，列出比例式，求出 的值．