Question

【題目】如圖，正方形ABCD是一張邊長為12公分的皮革．皮雕師傅想在此皮革兩相鄰的角落分別切下△PDQ與△PCR后得到一個五邊形PQABR，其中PD=2DQ，PC=RC，且P、Q、
R三點分別在CD、AD、BC上，如圖所示．

（1）當皮雕師傅切下△PDQ時，若DQ長度為x公分，請你以x表示此時△PDQ的面積．
（2）承（1），當x的值為多少時，五邊形PQABR的面積最大？請完整說明你的理由并求出答案．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設DQ=x公分，

∴PD=2DQ=2x公分，

∴S△PDQ= x×2x=x2（平方公分）

（2）

解：∵PD=2x公分，CD=12公分，

∴PC=CR=12﹣2x（公分），

∴S五邊形PQABR=S正方形ABCD﹣S△PDQ﹣S△PCR

=122﹣x2﹣ （12﹣2x）2

=144﹣x2﹣ （144﹣48x+4x2）

=144﹣x2﹣72+24x﹣2x2

=﹣3x2+24x+72=

﹣3（x2﹣8x+42）+72+3×16

=﹣3（x﹣4）2+120，

故當x=4時，五邊形PQABR有最大面積為120平方公分．

【解析】（1）根據條件表示出PD，從而得到△PDQ的面積；
　　　　（2）分別求出正方形ABCD的面積，△PDQ，△PCR的面積，再作差求出五邊形的面積，最后確定出取極值時的x值．此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形面積的計算，五邊形面積的計算方法，解本題的關鍵是三角形的面積的計算．
【考點精析】利用三角形的面積對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的面積=1/2×底×高．