Question

【題目】從三角形一個頂點引出一條射線于對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的優(yōu)美線．

（1）如圖，在△ABC中，AD為角平分線，∠B=50°，∠C=30°，求證：AD為△ABC的優(yōu)美線；

（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的優(yōu)美線，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形，求∠BAC的度數(shù)；

（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的優(yōu)美線，且△ABD是等腰三角形，直接寫出優(yōu)美線AD的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 113°；(3) 或

【解析】試題分析:(1)根據(jù)三角形的優(yōu)美線的定義,只要證明△ABD是等腰三角形,

△CAD∽△CBA即可解決問題,(2)如圖2中,分兩種情形討論求解①若AB=AD,

△CAD∽△CBA,則∠B=∠ADB=∠CAD,則AC∥BC,這與△ABC這個條件矛盾, ②若AB=BD, △CAD∽△CBA, (3)如圖3中,分三種情形討論①若AD=BD, △CAD∽△CBA,則設(shè)BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可, ②若AB=AD=4,由,設(shè)BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可, ③若AB=AD,顯然不可能.

(1)證明：

∵∠B=50°，∠C=30°，∴∠BAC=100°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC=50°，

∴∠B=∠BAD=50°，∴DB=DA，

∴△ABD是等腰三角形，

∵∠C=∠C，∠DAC=∠B=50°，

∴△CAD∽△CBA，

∴線段AD是△ABC的優(yōu)美線．

（2）若AB=AD，舍去，

（理由若△CAD∽△CBA，則∠B=∠ADB=∠CAD，則AC∥BC，）

若AB=BD，∠B=46°，

∴∠BAD=∠BDA=67°，

∵△CAD∽△CBA，

∴∠CAD=∠B=46°，

∴∠BAC=67°+46°=113°．

（3）或.