Question

【題目】已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點G在BC上，連接AG，過C作CF⊥AG，垂足為點E，過點B作BF⊥CF于點F，點D是AB的中點，連接DE、DF．

（1）若∠CAG=30°，EG=1，求BG的長；

（2）求證：∠AED=∠DFE．

Answer 1

【答案】（1）2﹣2（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）首先根據勾股定理求出CE的長，進而得到AC的長，因為AC=BC，所以BC可求，利用BH=BC﹣CG計算即可；

（2）連接CD，通過證明分別證明△ACE≌△CBF和△DCE≌△DBF，利用全等三角形的性質即可證明∠AED=∠DFE．

（1）解：∵∠CAG=∠FCB=30°，EG=1，sin30°==

∴CG=2，

∴CE==

∵sin30°=，

∴AC=2，

∴BC=2

∴BG=2﹣2；

（2）證明：連接CD，

在△ACE和△CBF中，

，

∴△ACE≌△CBF（AAS），

∴CE=BF，

∵等腰RT△ABC中，點D是AB的中點，

∴CD=BD，

∵CD⊥BD，

∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，

∴∠DCE=∠DBF，

在△DCE和△DBF中，

∴△DCE≌△DBF（SAS），

∴∠CED=∠BFD，

∵∠AEC=∠CFB=90°，

∴∠AED=∠DFE．