Question

【題目】如圖，PA、PB是⊙O的切線，A，B為切點，D為⊙O上一點．

（1）求證：∠P＝180°﹣2∠D；

（2）如圖，PE∥BD交AD于點E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝，⊙O的半徑為2，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4

【解析】

（1）連接OA，OB，由PA，PB為⊙O的切線，根據切線的性質，即可得∠OAP＝∠OBP＝90°，又由圓周角定理，可求得∠AOB＝2∠D，繼而可求得結論．

（2）過點O作OG⊥AD，連接OB，OE，連接OA交PE于點F，由PE∥BD，可得△OPF∽△EFA，即可求得∠OPE＝∠OAD，從而可求得AG，即可求出AE

（1）證明：如圖1，連接OA，OB，

∵PA，PB為⊙O的切線，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB＝180°﹣∠AOB，

∵∠AOB＝2∠D，

∴∠P＝180°﹣2∠D；

（2）

如圖2，過點O作OG⊥AD，連接OB，OE，連接OA交PE于點F

由（1）得，∠OPA＝90°﹣∠D

OB⊥PB；OA⊥PA

∴∠POA＝180°﹣90°﹣∠OPA＝∠D

又∵PE∥BD，

∴∠D＝∠PEA

∴∠PEA＝∠POA

∵∠PFO＝∠EFA

∴△OPF∽△EFA

∴∠OPE＝∠OAD

∴tan∠OAD＝tan∠OPE＝

∴OG＝AG

∴在△OAG中，由勾股定理得

AG2+OG2＝OA2，解得AG＝6

∴AD＝12

又∵DE＝2AE

∴AE＝AD＝×12＝4