Question

【題目】閱讀材料：

用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因為3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有當a=0時，才能得到這個式子的最小值1．同樣，因為-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0時，才能得到這個式子的最大值1．
（1）當x=___時，代數式3（x+3）2+4有最小____（填寫大或小）值為____．
（2）當x=_____時，代數式-2x2+4x+3有最大____（填寫大或小）值為____.

（3）矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度是16m，當花園與墻相鄰的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）-3，小，4；（2）1，大，5；（3）當邊長為4米時，花園面積最大為32m2．

【解析】

（1）由完全平方式的最小值為0，得到x=-3時，代數式的最小值為4；
（2）將代數式前兩項提取-2，配方為完全平方式，根據完全平方式的最小值為0，即可得到代數式的最大值及此時x的值；
（3）設垂直于墻的一邊長為xm，根據總長度為16m，表示出平行于墻的一邊為（16-2x）m，表示出花園的面積，整理后配方，利用完全平方式的最小值為0，即可得到面積的最大值及此時x的值．

（1）∵（x+3）2≥0，
∴當x=-3時，（x+3）2的最小值為0，
則當x=-3時，代數式3（x+3）2+4的最小值為4；
（2）代數式-2x2+4x+3=-2（x-1）2+5，
則當x=1時，代數式-2x2+4x+3的最大值為5；
（3）設垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（16-2x）m，
∴花園的面積為x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x2-8x+16）+32=-2（x-4）2+32，
則當邊長為4米時，花園面積最大為32m2．