Question

【題目】如圖，長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx經過點B（1，4）和點E（3，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D在線段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D點的坐標；
（3）在條件（2）下，在拋物線的對稱軸上找一點M，使得△BDM的周長為最小，并求△BDM周長的最小值及此時點M的坐標；
（4）在條件（2）下，從B點到E點這段拋物線的圖象上，是否存在一個點P，使得△PAD的面積最大？若存在，請求出△PAD面積的最大值及此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點B（1，4），E（3，0）的坐標代入拋物線的解析式得： ，

解得： ，

拋物線的解析式為y=﹣2x2+6x

（2）

解：如圖1所示；

∵BD⊥DE，

∴∠BDE=90°．

∴∠BDC+∠EDO=90°．

又∵∠ODE+∠DEO=90°，

∴∠BDC=∠DE0．

在△BDC和△DOE中， ，

∴△BDC≌△DEO．

∴OD=AO=1．

∴D（0，1）．

（3）

解：如圖2所示：作點B關于拋物線的對稱軸的對稱點B′，連接B′D交拋物線的對稱軸與點M．

∵x=﹣ = ，

∴點B′的坐標為（2，4）．

∵點B與點B′關于x= 對稱，

∴MB=B′M．

∴DM+MB=DM+MB′．

∴當點D、M、B′在一條直線上時，MD+MB有最小值（即△BMD的周長有最小值）．

∵由兩點間的距離公式可知：BD= = ，DB′= = ，

∴△BDM的最小值= + ．

設直線B′D的解析式為y=kx+b．

將點D、B′的坐標代入得： ，

解得：k= ，b=1．

∴直線DB′的解析式為y= x+1．

將x= 代入得：y= ．

∴M（ ， ）

（4）

如圖3所示：過點F作FG⊥x軸，垂足為G．

設點F（a，﹣2a2+6a），則OG=a，FG=﹣2a2+6a．

∵S梯形DOGF= （OD+FG）OG= （﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+ a，S△ODA= ODOA= ×1×1= ，S△AGF= AGFG=﹣a3+4a2﹣3a，

∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+ a﹣ ．

∴當a= 時，S△FDA的最大值為 ．

∴點P的坐標為（ ， ）．

【解析】（1）將點B（1，4），E（3，0）的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）依據同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0，然后再依據AAS證明△BDC≌△DEO，從而得到OD=AO=1，于是可求得點D的坐標；（3）作點B關于拋物線的對稱軸的對稱點B′，連接B′D交拋物線的對稱軸與點M．先求得拋物線的對稱軸方程，從而得到點B′的坐標，由軸對稱的性質可知當點D、M、B′在一條直線上時，△BMD的周長有最小值，依據兩點間的距離公式求得BD和B′D的長度，從而得到三角形的周長最小值，然后依據待定系數法求得D、B′的解析式，然后將點M的橫坐標代入可求得點M的縱坐標；（4）過點F作FG⊥x軸，垂足為G．設點F（a，﹣2a2+6a），則OG=a，FG=﹣2a2+6a．然后依據S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面積與a的函數關系式，然后依據二次函數的性質求解即可．本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數、一次函數的解析式、全等三角形的性質和判定、軸對稱的性質、二次函數的圖象和性質得到△FDA的面積與a的函數關系式是解題的關鍵．