Question

【題目】如圖，等腰直角三角形 AEF 的頂點 E 在等腰直角三角形 ABC 的邊 BC上．AB 的延長線交 EF 于 D 點，其中∠AEF＝∠ABC＝90°．

(1)求證：

(2)若 E 為 BC 的中點，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由△AEF、△ABC是等腰直角三角形，易證得△FAD∽△CAE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得 ，又由等腰直角三角形的性質，可得AF= AE，即可證得；

（2）首先設BE=a，由射影定理，可求得DB的長，繼而可求得DA的長，即可求得答案．

(1)證明：∵△AEF、△ABC是等腰直角三角形，

∴∠EAF=∠BAC=45°,∠F=∠C=45°，

∴∠FAD=∠CAE，

∴△FAD∽△CAE，

∴，

∵∠AEF=90°，AE=EF，

∴AF=AE，

∴；

(2)設BE=a，

∵E為BC的中點，

∴EC=BE=a，AB=BC=2a，

∵∠AEF=∠ABC=90°，

∴BE =ABDB，

∴DB= ，

∵DA=DB+AB，

∴DA= ，

∴= .