Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與y軸交于點C．

（1）拋物線的頂點坐稱為　 　，點C坐標為　 　；（用含m的代數式表示）

（2）當m＝1時，拋物線上有一動點P，設P點橫坐標為n，且n＞0．

①若點P到x軸的距離為2時，求點P的坐標；

②設拋物線在點C與點P之間部分（含點C和點P）最高點與最低點縱坐標之差為h，求h與n之間的函數關系式，并寫出自變量n的取值范圍；

（3）若點A（﹣3，2）、B（2，2），連結AB，當拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與線段AB只有一個交點時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣2），（0，m2﹣2），（2）①P1（1，﹣2），P2（3，2）；②；（3）m的取值范圍為﹣5≤m＜﹣1或0＜m≤4．

【解析】

（1）當x＝0時，求出y的值，即可寫出點C坐標，將拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2化為頂點式即可寫出頂點坐標；

（2）①當m＝1時，先求出拋物線的解析式，再分別將y＝±2代入解析式即可求出點P坐標；

②用含n的代數式表示出點P的坐標，分點P在y軸左側，在y軸右側且在對稱軸左側和右側三種情況討論，直接求出最高點與最低點的縱坐標之差即可；

（3）分兩種情況討論，當m＜0，拋物線經過線段的最左端點時，求出m的值并畫出圖象即可由圖象看出m的取值范圍；當m≥0，拋物線經過線段的最右端點B時，求出m的值并畫出圖象即可由圖象看出m的取值范圍．

（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣2

＝（x﹣m）2﹣2，

∴頂點坐標為（m，﹣2），

在y＝x2﹣2mx+m2﹣2中，

當x＝0時，y＝m2﹣2，

∴點C坐標為（0，m2﹣2），

故答案為：（m，﹣2），（0，m2﹣2）；

（2）①當m＝1時，y＝x2﹣2x﹣1，

∴P（n，n2﹣2n﹣2），

令n2﹣2n﹣1＝﹣2，

解得，n1＝n2＝1，

∴P1（1，﹣2）；

令n2﹣2n﹣1＝2，

解得，n1＝3，n2＝﹣1（n＞0，舍去），

∴P2（3，2），

綜上：P1（1，﹣2），P2（3，2）；

②在y＝x2﹣2x﹣1中，對稱軸為，

當時，，

∴頂點坐標為，

∵點P的橫坐標為n，

∴點P的橫坐標為，

如圖，當點P在y軸左側，即時，

；

當在y軸右側且在對稱軸左側，即時，

；

當在對稱軸右側，即時，

；

綜上：

（3）①當m＜0，拋物線經過線段的最左端點A（﹣3，2）時，

（﹣3﹣m）2﹣2＝2，

解得，m1＝﹣5，m2＝﹣1，

∴對應拋物線的圖象如圖1，圖2所示，

由圖象可以看出當﹣5≤m＜﹣1時，拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與線段AB只有一個交點；

②當m≥0，拋物線經過線段的最右端點B（2，2）時，

（2﹣m）2﹣2＝2，

解得，m1＝4，m2＝0，

∴對應拋物線的圖象如圖3，圖4所示，

由圖象可以看出當0＜m≤4時，拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與線段AB只有一個交點；

綜上所述：m的取值范圍為﹣5≤m＜﹣1或0＜m≤4．