Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，過點B作BP∥AC，過點C作CP∥BD，BP與CP相交于點P．

（1）判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；

（2）若將平行四邊形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，得到的四邊形BPCO是什么四邊形，并說明理由；

（3）若得到的是正方形BPCO，則四邊形ABCD是 ．（選填平行四邊形、矩形、菱形、正方形中你認為正確的一個）

Answer 1

【答案】（1）四邊形BPCO為平行四邊形；（2）四邊形BPCO為矩形；（3）四邊形ABCD是正方形

【解析】

試題分析：（1）根據兩組對邊互相平行，即可得出四邊形BPCO為平行四邊形；

（2）根據菱形的對角線互相垂直，即可得出∠BOC=90°，結合（1）結論，即可得出四邊形BPCO為矩形；

（3）根據正方形的性質可得出OB=OC，且OB⊥OC，再根據平行四邊形的性質可得出OD=OB，OA=OC，進而得出AC=BD，再由AC⊥BD，即可得出四邊形ABCD是正方形．

解：（1）四邊形BPCO為平行四邊形，理由如下：

∵BP∥AC，CP∥BD，

∴四邊形BPCO為平行四邊形．

（2）四邊形BPCO為矩形，理由如下：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，則∠BOC=90°，

由（1）得四邊形BPCO為平行四邊形，

∴四邊形BPCO為矩形．

（3）四邊形ABCD是正方形，理由如下：

∵四邊形BPCO是正方形，

∴OB=OC，且OB⊥OC．

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OD=OB，OA=OC，

∴AC=BD，

又∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是正方形．