Question

【題目】如圖，將邊長為6的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E，F分別在邊AB，CD上)，使點B落在AD邊上的點M處（點M不與A，D重），點C落在點N處，MN與CD交于點P， 連接MB，當點M在邊AD上移動時.有下列結論：①BM=EF；②0＜PF＜3 ；③∠AMB=∠BMP；④△PDM的周長隨之改變．其中正確結論的序號是_______．（把你認為正確的結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

作FG⊥AB于G，證明△ABM≌△GFE（AAS），得出BM=EF，①正確；
若點M與A重合，則C與D重合，P與D重合，PF=3；當M與D重合時，N與C重合，P與C重合，EF與AC重合，CF=0；得出0＜PF＜3，②正確；
由等腰三角形的性質得出∠ABM=∠EMB，由∠ABC=∠EMN=90°，得出∠AMB=∠BMP，③正確；
可證△AEM∽△DMP，兩個三角形的周長的比是AE：MD，設AM=x，根據勾股定理可以用x表示出MD的長與△MAE的周長，根據周長的比等于相似比，求出△PDM的周長=12為定值，得出④不正確，即可得出結論．

解：作FG⊥AB于G，如圖所示：
則∠EGF=90°，GF=BC=AB，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴∠ABM+∠AMB=90°，
由折疊的性質得：BM⊥EF，BE=ME，∠EMN=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠GEF=∠ABM+∠AMB=90°，
∴∠AMB=∠GEF，
在△ABM和△GFE中，

，
∴△ABM≌△GFE（AAS），
∴BM=EF，①正確；
若點M與A重合，則C與D重合，P與D重合，PF=3；
當M與D重合時，N與C重合，P與C重合，EF與AC重合，CF=0；
∵點M不與A，D重合，
∴0＜PF＜3，②正確；
∵BE=ME，
∴∠ABM=∠EMB，
∵∠ABC=∠EMN=90°，
∴∠AMB=∠BMP，③正確；
設AM=x，則MD=6-x．
由折疊性質可知，EM=BE=6-AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（6-AE）2，
整理得：AE2+x2=36-12AE+AE2，
∴AE= （36-x2），
又∵∠EMP=90°，
∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠DMP．
又∵∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴，
∴△PDM的周長=△MAE的周長 =12．
∴△PDM的周長保持不變，④不正確；
故答案為：①②③．