Question

閱讀下面材料：
問題：如圖①，在△ABC中， D是BC邊上的一點，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的長．
小明同學的解題思路是：利用軸對稱，把△ADC進行翻折，再經過推理、計算使問題得到解決．
（1）請你回答：圖中BD的長為   ；
（2）參考小明的思路，探究并解答問題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長．
            
圖①                                   圖②

Answer 1

（2）BD=2；

試題分析：解：（1）折疊△ADC得△ACE。則AD=AE
則可證∠DAE=2∠DAC=45°=∠BAD，又因為在△ABC中，可證∠B=∠ADB=67.5°。所以AB=AD。
則證出△ABD≌△AED（SAS），所以可得BD=DE。且∠ADB=∠ADE=67.5°。所以∠EDC=180°-2∠ADB=45°。
所以Rt△DCE為等腰直角三角形。因為CD=2，通過勾股定理可求DE=
所以.           
（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，

∴△ADC≌△AEC.
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC.
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.
∴△CDE為等邊三角形.
∴DC＝DE.
在AE上截取AF＝AB，連接DF，
∴△ABD≌△AFD.
∴BD＝DF.
在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°.
∴∠AFD =105°.
∴∠DFE=75°.
∴∠DFE=∠DEF.
∴DF＝DE.  
∴BD＝DC＝2. 
作BG⊥AD于點G，
∴在Rt△BDG中，.  
∴在Rt△ABG中，.                                  
點評：本題難度較大，主要考查學生對全等三角形判定與性質等掌握。本題中帶有提示可節省時間直接找出解題線索，審題是要抓住提示關鍵。