Question

在△ABC中．
（1）若∠A=60°，AB、AC邊上的高CE、BD交于點O．求∠BOC的度數．（如圖）
（2）若∠A為鈍角，AB、AC邊上的高CE、BD所在直線交于點O，畫出圖形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC=______°，再用你已學過的數學知識加以說明．
（3）由（1）（2）可以得到，無論∠A為銳角還是鈍角，總有∠BAC+∠BOC=______°．

Answer 1

解：（1）∵BD、CE分別是邊AC，AB上的高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-60°=30°，
∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°；

（2）如圖所示：
∠BAC+∠BOC=180°；
理由如下：∵BD、CE分別是邊AC，AB上的高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∵∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-∠BAD=90°-∠BAD，
∠O=180°-∠BEO-∠DBA=90°-∠DBA=90°-（90°-∠BAD）=∠BAD，
∵∠BAC=180°-∠DAB，
∴∠BAC=180°-∠O，
∴∠BAC+∠O=180°；

（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．
分析：（1）由垂直的定義得到∠ADB=∠BEC=90°，再根據三角形內角和定理得∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-60°=30°，然后根據三角形的外角性質有∠BOC=∠EBD+∠BEO，計算即可得到∠BOC的度數．
（2）首先根據題意畫出圖形，再根據三角形內角和定證明出∠O=∠BAD，進而可得∠BAC+∠BOC=180°；
（3）根據（1）（2）可直接得到結論．
點評：此題主要考查了三角形內角和定理，關鍵是掌握三角形內角和為180°，根據圖形掌握角之間的關系．