Question

如圖，已知：在四邊形ABCD中，過C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若AE=3BE=9，求AD的長；
（3）△ABC和△ACD的面積分別為36和24，求△BCE的面積．

Answer 1

分析：（1）作CF⊥AD的延長線于F，再由條件就可以得出△CDF≌△CEB，就可以得出CF=CE，從而得出結論；
（2）先△CAF≌△CBE就可以得出AF=AE，DF=BE，就可以求出AF和DF的值從而得出結論；
（3）設△BCE的面積為x，由△CAF≌△CAE就可以得出S_△CAF=S_△CAE，就可以建立方程24+x=36-x，求出其解即可．

解答：解：（1）作CF⊥AD的延長線于F，
∴∠F=90°．
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=∠CEB=90°，
∴∠F=∠CEA=∠CEB．
∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°
∴∠CDF=∠B．
在△CDF和△CEB中

∠F=∠CEB ∠CDF=∠B CD=CB

，
∴△CDF≌△CEB（AAS），
∴CF=CE．
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴AC平分∠BAD；
（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中

CF=CE AC=AC

，
∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），
∴AF=AE．
∵△CDF≌△CEB，
∴DF=EB．
∵3BE=9，
∴BE=3，
∴DF=3．
∵AD=AF-DF，
∴AD=AE-DF．
∵AE=9，
∴AD=9-3=6；
（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，
∴S_△CAF=S_△CAE，S_△CDF=S_△CEB．．
設△BCE的面積為x，則△CDF的面積為x，由題意，得
24+x=36-x，
∴x=6，
答：△BCE的面積為6．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質的運用，角平分線的判定及性質的運用，三角形的面積公式的運用，一元一次方程的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．