Question

（11·大連）（本題12分）如圖15，拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)、B (3，

0)、C(0，3)三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若不存在，說明理由；

（3）在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相

等，若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a(x＋1)(x－3)

∴3＝a·(－3)  即＝a－1

∴所求的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)＝－x²＋2x＋3…………………………2分

解法二：把三點(diǎn)代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax²＋bx＋c，

∴所求的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)＝－x²＋2x＋3…………………………2分

（2）存在

y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4  ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (1，4)

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，

即y＝－x＋3

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (1，2) …………………………3分

設(shè)對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)N，則MN＝PM，

∴△NMB與△PMB的面積相等

∴△QMB與△PMB的面積相等

∴點(diǎn)Q在過點(diǎn)P且平行于BC的直線l₁或過點(diǎn)N且平行于BC的直線l₂上，

設(shè)l₁的解析式為y＝－x＋b₁，則4＝－1＋b₁，b₁＝5，∴y＝－x＋5

設(shè)l₂的解析式為y＝－x＋b₂，則0＝－1＋b₂，b₂＝1，∴y＝－x＋1………………………6分

設(shè)l₁與拋物線相交于點(diǎn)Q (m，－m＋5)  l₂與拋物線相交于點(diǎn)Q’ (n，－n＋1) 

－m＋5＝－m²＋2m＋3   解得m₁＝1（舍去），m₂＝2，∴Q (2，3) ……………………7分

－n＋1＝－n²＋2n＋3 

解析:略