Question

矩形OABC在平 面直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（6,0），C（0，-3），直線y=-x與BC邊相交于D點.

（1）若拋物線y=ax-x經過點A，試確定此拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上取一點E，求出EA+ED的最小值；
（3）設（1）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的點P的坐標.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=x-x （2）EA+ED的最小值為5 （3）P1（3,0），P2（3,4）

試題分析：（1）拋物線y=ax-x經過點A（6,0），
∴0=36a-×36, ∴a=,故拋物線的解析式為y=x-x.  
（2）直線y=-x與BC邊相交于D點，
當y=-3時，x=4，∴點D的坐標為（4，-3）.
∵點O與點A關于對稱軸對稱，且點E在對稱軸上，
∴EA="EO," ∴EA+ED=EO+ED,
則最小值為OD==5，∴EA+ED的最小值為5.          
（3）拋物線的對稱軸與x軸的交點P1符合條件.

∵OA∥CB ，∴∠P1OM=∠CDO.
∵∠OP1M=∠DCO=90°，∴Rt△P1OM∽Rt△CDO.
∵拋物線的對稱軸為x=3，∴點P1的坐標為（3,0）.
過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點P2.
∵對稱軸平行于y軸，∴∠P2MO=∠DOC.
∵∠P2OM=∠DCO=90°, ∴Rt△P2MO∽Rt△DOC.
∴點P2也符合條件，∠OP2M=∠ODC.
∵P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°，
∴Rt△P2P1O ≌Rt△DCO. ∴P1P2=CD=4.
∵點P2在第一象限，∴點P2的坐標為（3,4）.
∴符合條件的點P有兩個，分別是P1（3,0），P2（3,4）.       
點評：本題考查拋物線，全等三角形，掌握拋物線的性質，要求考生能求函數解析式，熟悉全等三角形的判定方法，并會證明兩個三角形全等