Question

已知：如圖，直線交x軸于點B，交y軸于點C，點A為x軸正半軸上一點，AO=CO，△ABC的面積為12．

（1）求b的值；
（2）若點P是線段AB中垂線上的點，是否存在這樣的點P，使△PBC成為直角三角形．若存在，試直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，試說明理由；
（3）點Q為線段AB上一個動點（點Q與點A、B不重合），QE∥AC，交BC于點E，以QE為邊，在點B的異側作正方形QEFG．設AQ=m，△ABC與正方形QEFG的重疊部分的面積為S，試求S與m之間的函數關系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

（1）4；（2），，，；（3）

試題分析：（1）先求得OB、OC的長，再由AO=BO可得點A的坐標，再根據三角形的面積公式求解；
（2）題目中沒有明確直角，故要分情況討論，再結合直角三角形的性質求解即可；
（3）設正方形QEFG與AC相交于點M，先求得，在Rt△AOC中，根據勾股定理可求得AC的長，由EQ∥AC可得，即可表示出的長，證得△QMA為等腰直角三角形，可得QM=，當時，正方形QEFG的邊FG恰好與AC共線，此時，解得，再分當0＜m≤、＜m＜6兩種情況分析即可.
（1）由題意得：B(，0)，C（0，b）
∴OB=，OC=b
∵AO=BO
∴A(b，0)．
∴OA=b，AB=b+=
∵
∴
解得：b₁=4，b₂=-4(舍去)
∴b=4；
（2），，，；
（3）如圖，設正方形QEFG與AC相交于點M.

∵
∴
在Rt△AOC中

∵EQ∥AC
∴
∴
∵EQ∥AC
∴∠AMQ=∠EQM=90°，∠MAQ=45°
∴△QMA為等腰直角三角形
∴QM=
當時，正方形QEFG的邊FG恰好與AC共線
此時，解得
當0＜m≤時，
當＜m＜6時，
∴S與m之間的函數關系式為.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．