Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y= x+1與拋物線y=ax2+bx﹣3交于A，B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與A，B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB與點C，作PD⊥AB于點D

（1）①求拋物線的解析式；②求sin∠ACP的值
（2）設點P的橫坐標為m
①用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連接PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，求出當這兩個三角形面積之比為9：10時的m值；
③是否存在適合的m值，使△PCD與△PBD相似？若存在，直接寫出m值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①當y=0時， x+1=0，解得x=﹣2，則A（﹣2，0），

當y=3時， x+1=3，解得x=4，則B（4，3），

把A（﹣2，0），B（4，3）代入y=ax2+bx﹣3得 ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3；

②過B作BE⊥x軸于點E，如圖1，

AE=4﹣（﹣2）=6，AB= =3 ，

在Rt△ABE中，sin∠ABE= = = ，

∵PC∥BE，

∴sin∠ACP=sin∠ABE= ；

（2）

解：設P（m， m2﹣ m﹣3），則C（m， m+1），BM=4﹣m，

∴PC= m+1﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+m+4，

∵sin∠ACP= = ，

∴PD=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣1）2+ ，

當m=1時，線段PD長的最大值為 ；

②作BM⊥PC，交PC的延長線于點M，作DN⊥PC于點N，如圖，

∵sinP=sin∠BAE= = ，

∴ = ，

∴DN= （ m2+ m+ ）=﹣ m2+ m+ ，

∵DN∥BM，

∴ = ，

∵線段PC把△PDB分成兩個三角形的面積之比為9：10，

∴當 = = ，即 = ，

整理得2m2﹣13m+20=0，解得m1= ，m2=4（舍去）；

當 = = ，即 = ，

整理得9m2﹣68m+128=0，解得m1= ，m2=4（舍去）；

綜上所述，m的值為 或 ；

③存在．

如圖2，連接PB交x軸于Q，

∵∠PDC=∠BDP，

∴當DPC=∠DBP時，△DPC∽△DBP，

而∠DPC=∠BAE，

∴∠BAE=∠ABP，

∴QA=QB，

設Q（t，0），則QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，

在Rt△BQE中，（4﹣t）2+32=t2，解得t= ，則Q（ ，0），

設直線BQ的解析式為y=px+q，

把B（4，3），Q（ ，0）代入得 ，解得 ，

∴直線BQ的解析式為y= x﹣ ，

解方程組 得 或 ，

∴P（﹣ ，﹣ ），

∴m=﹣ ．

【解析】（1）①由直線解析式可求得A、B兩點的坐標，代入拋物線解析式可求得a、b的值，則可求得拋物線解析式；②過B作BE⊥x軸于點E，在Rt△ABE中可求得sin∠ABE，則可求得sin∠ACP；（2）①用m可表示出C點坐標，則可表示出PC的長，利用其正弦值可表示出PD的長，利用二次函數的性質可求得其最大值；②作BM⊥PC，交PC的延長線于點M，作DN⊥PC于點N，則可用m表示DN和BM，由面積的比得到DC與BC的比，然后利用相似比可得到m的方程，可求得m的值；③如圖2，連接PB交x軸于Q，只有當DPC=∠DBP時，△DPC∽△DBP，于是可證明QA=QB，設Q（t，0），則QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，利用勾股定理得到（4﹣t）2+32=t2 ， 解得t= ，則Q（ ，0），再利用待定系數法求出直線BQ的解析式為y= x﹣ ，然后解方程組 得P點坐標，從而得到m的值．