Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點o和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D．直線y=﹣2x﹣1經過拋物線上一點B（﹣2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F．

（1）求m的值及該拋物線對應的解析式；
（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若S△ADP=S△ADC ， 求出所有符合條件的點P的坐標；
（3）點Q是平面內任意一點，點M從點F出發，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形．若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點B（﹣2，m）在直線y=﹣2x﹣1上

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，

所以，點B（﹣2，3），

又∵拋物線經過原點O，

∴設拋物線的解析式為y=ax2+bx，

∵點B（﹣2，3），A（4，0）在拋物線上，

∴ ，

解得： ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣x

（2）

解：∵P（x，y）是拋物線上的一點，

∴P（x， x2﹣x），

若S△ADP=S△ADC，

∵S△ADC= ADOC，S△ADP= AD|y|

又∵點C是直線y=﹣2x﹣1與y軸交點，

∴C（0，﹣1），

∴OC=1，

∴| x2﹣x|= ，即 x2﹣x=1或 x2﹣x=﹣1，

解得：x1=2+2 ，x2=2﹣2 ，x3=x4=2，

∴點P的坐標為 P1（2+2 ，1），P2（2﹣2 ，1），P3（2，﹣1）

（3）

解：結論：存在．

∵拋物線的解析式為y= x2﹣x，

∴頂點E（2，﹣1），對稱軸為x=2；

點F是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點，

∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），

∴AE= ．

如下圖所示，在點M的運動過程中，依次出現四個菱形：

①菱形AEM1Q1．

∵此時EM1=AE= ，

∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣ ，

∴t1=4﹣ ；

②菱形AEOM2．

∵此時DM2=DE=1，

∴M2F=DF+DM2=6，

∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．

∵此時EM3=AE= ，

∴DM3=EM3﹣DE= ﹣1，

∴M3F=DM3+DF=（ ﹣1）+5=4+ ，

∴t3=4+ ；

④菱形AM4EQ4．

此時AE為菱形的對角線，設對角線AE與M4Q4交于點H，則AE⊥M4Q4，

∵易知△AED∽△M4EH，

∴ = ，

即 = ，得M4E=2.5，

∴DM4=M4E﹣DE=2.5﹣1=1.5，

∴M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，

∴t4=6.5．

綜上所述，存在點M、點Q，使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t1=4﹣ ，t2=6，t3=4+ ，t4=6.5．

【解析】（1）首先求出點B的坐標和m的值，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）△ADP與△ADC有共同的底邊AD，因為面積相等，所以AD邊上的高相等，即為1；從而得到點P的縱坐標為1，再利用拋物線的解析式求出點P的縱坐標；（3）如解答圖所示，在點M的運動過程中，依次出現四個菱形，注意不要漏解．針對每一個菱形，分別進行計算，求出線段MF的長度，從而得到運動時間t的值．