Question

（2013•永州模擬）如圖，拋物線y=mx²+2mx-3m（m≠0）的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B點在A點右側），點H、B關于直線l：y=

3

3

x+

3

對稱，過點B作直線BK∥AH交直線l于K點．
（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）將此拋物線向上平移，當拋物線經過K點時，設頂點為N，直接寫出NK的長．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程，即可得到點A、B的坐標；然后把點A的坐標代入直線l的解析式，計算即可證明點A在直線上；
（2）根據軸對稱的性質可得AH=AB，根據直線l的解析式求出直線l與x軸的夾角為30°，然后得到∠HAB的度數是60°，過點H作HC⊥x軸于點C，然后解直角三角形求出AC、HC，從而得到OC的長度，然后寫出點H的坐標，再把點H的坐標代入拋物線解析式計算求出m的值，即可得解；
（3）根據平行直線的解析式的k值相等求出直線BK的解析式的k值，然后利用待定系數法求出直線BK的解析式，與直線l的解析式聯立求解得到點K的值，再利用拋物線解析式求出相應橫坐標上的點，從而求出拋物線向上移動的距離，然后得到平移后的拋物線的頂點N的坐標，根據兩點間的距離公式計算即可得到NK的值．

解答：解：（1）令y=0，則mx²+2mx-3m=0（m≠0），
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B點在A點右側，
∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），

證明：∵直線l：y=

3

3

x+

3

，
當x=-3時，y=

3

3

×（-3）+

3

=-

3

+

3

=0，
∴點A在直線l上；

（2）∵點H、B關于過A點的直線l：y=

3

3

x+

3

對稱，
∴AH=AB=4，
設直線l與x軸的夾角為α，則tanα=

3

3

，
所以，∠α=30°，
∴∠HAB=60°，
過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，
則AC=

1

2

AB=2，HC=

42-22

=2

3

，
∴頂點H（-1，2

3

），
代入拋物線解析式，得m×（-1）²+2m×（-1）-3m=2

3

，
解得m=-

3

2

，
所以，拋物線解析式為y=-

3

2

x²-

3

x+

3 3

2

；

（3）∵過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，
∴直線BK的k=tan60°=

3

，
設直線BK的解析式為y=

3

x+b，
∵B點坐標為（1，0），
∴

3

+b=0，
解得b=-

3

，
∴直線BK的解析式為y=

3

x-

3

，
聯立

y= 3 x- 3 y= 3 3 x+ 3

，
解得

x=3 y=2 3

，
∴點K的坐標為（3，2

3

），
當x=3時，y=-

3

2

×3²-

3

×3+

3 3

2

=-6

3

，
∴平移后與點K重合的點的坐標為（3，-6

3

），
平移距離為2

3

-（-6

3

）=8

3

，
∵平移前頂點坐標為（-1，2

3

），
2

3

+8

3

=10

3

，
∴平移后頂點坐標N（-1，10

3

），
∴NK=

(-1-3)2+(10 3 -2 3 )2

=

208

=4

13

，
所以，NK的長是4

13

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及求與x軸的交點坐標，二次函數圖象上的點的坐標特征，軸對稱圖形的性質，解直角三角形，待定系數法求二次函數解析式，聯立兩直線解析式求交點坐標，兩點間的距離公式，綜合性較強，難度較大．