Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的發散點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP＋CP′＝3r，則稱P′為點P關于⊙C的發散點.下圖為點P及其關于⊙C的發散點P′的示意圖.特別地，當點P′與圓心C重合時，規定CP′＝0.

根據上述材料，請你解決以下問題：

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點關于⊙O的發散點的是點 ；其對應發散點的坐標是 ；

②點P在直線上，若點P關于⊙O的發散點P′存在，且點P′不在x軸上，求點P的橫坐標m的取值范圍；

（2）⊙C的圓心C在x軸上，半徑為1，直線與x軸、y軸分別交于點A，B.若線段AB上存在點P，使得點P關于⊙C的發散點P′在⊙C的內部，請直接寫出圓心C的橫坐標n的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（1）N,T ，（0，0）；（2）<m<3.

【解析】

(1)①根據發散點的定義依次進行判斷即可；②由OP≤3r=3，得出OP2≤9，設P（m，），由勾股定理得出OP2=m2+（）2=4m2-18m+27≤9，解不等式得出≤m≤3．再分別將m=與3代入檢驗即可；
（2）先由已知條件求出A（9，0），B（0，3）,則，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再設C（n，0），分兩種情況進行討論：①C在OA上；②C在A點右側．

解：（1）①設點M（3，1）的發散點為M’，則根據發散點的定義可得：OM+OM’=3,

OM==,

∴OM’=3-<0.

故不符合題意，點M（3，1）不存在關于⊙O的發散點.

同理可求得：設點N關于⊙O的發散點為N’，則

ON+ON’=3,

∴ON’=3-=

∴點N關于⊙O的發散點N’的坐標為；

設點T(2,1) 關于⊙O的發散點為T’,

則OT+OT’=3,

∴OT’=3-=0

∴點T(2,1) 關于⊙O的發散點為T’的坐標為（0，0）

故答案為：N,T ，（0，0）；

設點P的坐標為（m，），

∵OP≤3，

∴≤9.

∴+≤9

整理得：-≤0

解得：≤m≤3.

又∵點P不在軸上，

∴點P的橫坐標m的取值范圍<m<3；

（2）令y=0，則，解得x=9，

∴A的坐標為（9，0）

令x=0，則y=3，

∴點B的坐標為（0，3）.

∴，

∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．

設C的坐標為（n，0）

當點C在OA上時，作CD⊥AB于D，則

CD≤CP≤3r=3

∴AC=2CD≤6

∴9-n≤6解得n≥3

當點C在點A右邊時，AC的最大值為3.

∴C的橫坐標n≤12.

綜上所述，圓心C的橫坐標的取值范圍是≤m≤3．