Question

【題目】已知∠MON＝90°，等邊三角形ABC的一個頂點B是射線ON上的一定點，頂點A于點O重合，頂點C在∠MON內部

(1)當點A在射線OM上移動到A1時，連接A1B，請在∠MON內部作出以A1B為一邊的等邊三角形A1BC1(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)設A1B與OC交于點Q，BC的延長線與A1C1交于點D．求證：△BCQ∽△BA1D；

(3)連接CC1，試猜想∠BCC1為多少度，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）∠BCC1＝90°，理由詳見解析.

【解析】

（1）分別以B、A1為圓心，A1B長為半徑畫弧，兩弧交于一點C1，連接A1C1，BC1即可；
（2）根據條件可以得到∠BCQ=∠BA1D=60°，∠A1BD=∠QBC，即可證出△BCQ∽△BA1D；
（3）首先證明∠ABA1=∠CBC1，再利用SAS定理證出△A1BA≌△C1BC，即可得到∠BCC1=∠BAA1=90°．

（1）如圖所示：

（2）∵△ACB和△A1C1B都是等邊三角形，

∴∠BCQ＝∠BA1D＝60°，

∵∠A1BD＝∠QBC，

∴△BCQ∽△BA1D；

（3）猜想∠BCC1＝90°，

∵△ACB和△A1C1B都是等邊三角形，

∴∠CBA＝∠A1BC1＝60°，A1B＝C1B，AB＝CB，

∴∠ABA1＝∠CBC1，

在△A1BA和△C1BC中： ，

∴△A1BA≌△C1BC（SAS），

∴∠BCC1＝∠BAA1＝90°．