Question

【題目】如圖，二次函數圖象經過A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）三點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求該拋物線的對稱軸；

（3）該拋物線的對稱軸上有一點D，在該拋物線上是否存在一點E，使得以D、E、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）x=；（3）存在，點E的坐標為（，﹣）、（，）或（﹣，）．

【解析】

試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），根據點A、B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）根據二次函數的解析式結合二次函數的性質即可得出拋物線的對稱軸；（3）假設存在，分線段BC為對角線以及BC為邊兩種情況考慮，根據點B、C、D的坐標結合平行四邊形的性質即可得出點E的坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征即可求出點E的坐標，此題得解．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c（a≠0）中得：，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4．（2）∵拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4，∴該拋物線的對稱軸為x=﹣=．（3）假設存在，∵點D在拋物線的對稱軸上，∴設點D的坐標為（，m）．以D、E、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況（如圖所示）：①當線段BC為對角線時，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m），∴點E的坐標為（4﹣， ﹣4﹣m），既（，﹣4﹣m），∵點E在拋物線y=x2﹣x﹣4上，∴﹣4﹣m=×﹣×﹣4=﹣，此時點E的坐標為（，﹣）；②當線段BC為邊時，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m），∴點E的坐標為（+4，m+4）或（﹣4，m+4），既（，m+4）或（﹣，m+4）．∵點E在拋物線y=x2﹣x﹣4上，∴m+4=×﹣×﹣4=或m+4=×﹣×（﹣）﹣4=，此時點E的坐標為（，）或（﹣，）．綜上可知：在該拋物線上存在一點E，使得以D、E、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，點E的坐標為（，﹣）、（，）或（﹣，）．