Question

（1）如圖1，已知正方形ABCD與正方形DEFG，點A、D、E三點共線，則S_△ADG

=

S_△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）如圖2，將圖1中正方形DEFG繞點D，逆時針轉到如圖的位置，則S_△ADG

=

S_△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
請說明理由．
（3）如圖3，以△ABC三邊向外作三個正方形，分別為正方形AEDC、正方形CFGB正方形ABHK，并且△ABC的邊AC長為5，邊AB長為4，則三角形AKE，三角形CDF，三角形BGH的面積和的最大值為

30

．

Answer 1

分析：（1）利用正方形ABCD與正方形DEFG，點A、D、E三點共線，得出AD=CD，DG=DE，進而得出S_△ADG=

1

2

AD×DG，S_△DCE=

1

2

DE×CD，即可得出答案；
（2）把△DCE繞點D順時針旋轉90°，使CD與AD重合，E旋轉到E'的位置，得出四邊形GDEF為正方形，∠GDE=90°，DG=DE=DE′，進而得出G、D、E'在一直線上，且AD為△AGE'的中線，得出S_△ADG=S_△ADE'=S_△CDE．
（3）把△DCF繞點C順時針旋轉90°，使CD與AC重合，F旋轉到F'的位置，利用四邊形BCFG為正方形，∠BCF=90°，BC=CF=CF′，得出B、C、F'在一直線上，且AC為△ABF'的中線，即可得出S_△CDF=S_△ACF'=S_△ABC，進而得出S_{陰影部分面積}=3S_△ABC=3×

1

2

AB×AC×sin∠ABC，即可得出最值．

解答：解：（1）∵正方形ABCD與正方形DEFG，點A、D、E三點共線，
∴AD=CD，DG=DE，
∵S_△ADG=

1

2

AD×DG，S_△DCE=

1

2

DE×CD，
∴S_△ADG=S_△DCE，
故答案為：=；

（2）把△DCE繞點D順時針旋轉90°，使CD與AD重合，E旋轉到E'的位置，
∵四邊形GDEF為正方形，∠GDE=90°，DG=DE=DE′，
∴G、D、E'在一直線上，且AD為△AGE'的中線，
∴S_△ADG=S_△ADE'=S_△CDE，
∴S_△ADG=S_△DCE，
故答案為：=；

（3）把△DCF繞點C順時針旋轉90°，使CD與AC重合，F旋轉到F'的位置，
∵四邊形BCFG為正方形，∠BCF=90°，BC=CF=CF′，
∴B、C、F'在一直線上，且AC為△ABF'的中線，
∴S_△CDF=S_△ACF'=S_△ABC，
同理：S_△AEK=S_△HBG=S_△ABC，
所以△AKE，△CDF，△BGH的面積和為S_△ABC的3倍，
又AC長為5，邊AB長為4，
∴S_{陰影部分面積}=3S_△ABC=3×

1

2

AB×AC×sin∠ABC，
當∠ABC最大時△AKE，△CDF，△BGH的面積和最大，
即當AB⊥BC時，S_△ABC最大值為：

1

2

×5×4=10
∴△AKE，△CDF，△BGH的面積和的最大值為10×3=30．
故答案為：30．

點評：本題考查了旋轉的性質以及正方形的性質和三角形的面積公式，利用旋轉性質得出旋轉前后圖形全等得出旋轉圖形是解題關鍵．