Question

如圖1，已知直線y=-

1

2

x+m與反比例函數y=

k

x

的圖象在第一象限內交于A、B兩點（點A在點B的左側），分別與x、y軸交于點C、D，AE⊥x軸于E．
（1）若OE•CE=12，求k的值．
（2）如圖2，作BF⊥y軸于F，求證：EF∥CD．
（3）在（1）（2）的條件下，EF=

5

，AB=2

5

，P是x軸正半軸上的一點，且△PAB是以P為直角頂點的等腰直角三角形，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）分別設出一次函數解析式和反比例函數的解析式，代入點A的坐標，即可得出各解析式．
（2）連接AF、BE，過E、F分別作FM⊥AB，EN⊥AB，得出FM∥EN，再根據AE⊥x軸，BF⊥y軸，得出AE⊥BF，由此得出S_△AEF=S_△BEF，最后證出FM=EN，得出四邊形EFMN是矩形，由此證出EF∥CD；
（3）由（2）得出EF=AD=BC和CD的值，再由直線解析式可得OD=m，OC=2m，得出OD=4，再根據EF∥CD，得出OF和0E、DF的值，最后根據EF=

5

，AB=2

5

得出EP的值，即可求出P點的坐標；

解答：（1）解：設OE=a，則A（a，-

1

2

a+m），
∵點A在反比例函數圖象上，∴a（-

1

2

a+m）=k，即k=-

1

2

a2+am，
由一次函數解析式可得C（2m，0），
∴CE=2m-a，
∴OE．CE=a（2m-a）=-a²+2am=12，
∴k=

1

2

（-a²+2am）=

1

2

×12=6．

（2）證明：連接AF、BE，過E、F分別作FM⊥AB，EN⊥AB，
∴FM∥EN，
∵AE⊥x軸，BF⊥y軸，
∴AE⊥BF，
S_△AEF=

1

2

AE•OE=

k

2

，
S_△BEF=

1

2

BF•OF=

k

2

，
∴S_△AEF=S_△BEF，
∴FM=EN，
∴四邊形EFMN是矩形，
∴EF∥CD；

（3）解：由（2）可知，EF=AD=BC=

5

，
∴CD=4

5

，
由直線解析式可得OD=m，OC=2m，
∴OD=4，
又EF∥CD，
∴OE=2OF，
∴OF=1，0E=2，
∴DF=3，
∴AE=DF=3，
∵AB=2

5

，
∴AP=

10

，
∴EP=1，
∴P（3，0）．

點評：此題考查了反比例函數的綜合題；解題的關鍵是畫出圖象，找出對應關系；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．