Question

【題目】已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數圖象上的點，當四邊形、B、C、D各點依次排列為正方形時，我們稱這個正方形為此函數圖象的“伴侶正方形”，例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數圖象的其中一個“伴侶正方形”．

如圖1，若某函數是一次函數，求它的圖象的所有“伴侶正方形”的邊長；

如圖2，若某函數是反比例函數，它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，點在反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數的解析式；

如圖3，若某函數是二次函數，它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，點C坐標為，請你直接寫出該二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】（1）“伴侶正方形”的邊長為或（2）；（3）．

【解析】

先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質確定相關點的坐標從而計算正方形的邊長，注意思維的嚴密性．

因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點的坐標表示出點C的坐標從而求解．

分兩種情況，利用正方形的性質，求出點D的坐標，最后用待定系數法即可得出結論．

一次函數，

直線與x軸的交點為，與y軸的交點為，

當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時：

正方形ABCD的邊長為．

當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時：

設正方形邊長為a，易得，

解得，此時正方形的邊長為．

所求“伴侶正方形”的邊長為或；

如圖，作軸，軸，垂足分別為點E、F，

易證≌≌．

點D的坐標為，，

，

．

，

點C的坐標為．

，解得．

反比例函數的解析式為；

當點A在x軸負半軸上，點B在y軸坐標軸上，

，

，

將C，D坐標代入中，得，

，

對應的函數解析式為；

當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上時，

，，

將點C，D坐標代入中，解得，，，

對應的函數解析式為．