Question

【題目】閱讀下列例題的解題過程，并完成相關問題

例：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12cm，BC＝18cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以2cm/s的速度向點B運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．從運動開始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分別經過多長時間？為什么？

解：①設經過ts時，PQ∥CD且PQ＝CD，此時四邊形PQCD為平行四邊形．

∵PD＝（12－t）cm，CQ＝2t cm，

∴12－t＝2t．∴t＝4．

∴當t＝4時，PQ∥CD，且PQ＝CD．

②設經過ts時，PQ＝CD，分別過點P，D作BC邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F．

當CF＝EQ時，四邊形PQCD為梯形（腰相等）或者平行四邊形．

∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，

∴四邊形ABFD是矩形．∴AD＝BF．

∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，

∴CF＝BC－BF＝6 cm．

當四邊形PQCD為梯形（腰相等）時，

PD＋2（BC－AD）＝CQ，

∴（12－t）＋12＝2t．∴t＝8．

∴當t＝8時，PQ＝CD．

當四邊形PQCD為平行四邊形時，由①知當t＝4時，PQ＝CD．

綜上，當t＝4時，PQ∥CD；當t＝4或t＝8時，PQ＝CD．

問題1：在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

問題2：從運動開始，當t取何值時，四邊形PQBA是矩形？

問題3：在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQBA是正方形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

問題4：是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】問題1：不存在．理由見解析；問題2：當t＝6時，四邊形PQBA是矩形；問題3：不存在．理由見解析；問題4：當t＝5或6或時，△DQC是等腰三角形．

【解析】

問題1：要使四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD一定是平行四邊形，由例可知當t＝4時，四邊形PQCD是平行四邊形，而此時DP≠DC，從而可得出結論；

問題2：因為∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形，據此列方程求解即可；

問題3：要使四邊形PQBA是正方形，則四邊形PQBA一定是矩形．由問題2知當t＝6時，四邊形PQBA是矩形，而此時AP≠AB，從而可得出結論；

問題4：分三種情況討論計算，①當QC＝DC時；②當DQ＝DC時，過點D作DH⊥CQ；③當QD＝QC時，過點D作DH⊥CQ，分別列出方程求出時間，判斷時間是否符合題意即可．

解：問題1：不存在．理由：

要使四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD一定是平行四邊形．

由例知當t＝4時，四邊形PQCD是平行四邊形．

此時DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，

所以按已知速度運動，四邊形PQCD只能是平行四邊形，但不可能是菱形．

問題2：如圖，由題意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t．

要使四邊形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC，即AP∥BQ，只需滿足AP＝BQ，即t＝18－2t，解得t＝6．

所以當t＝6時，四邊形PQBA是矩形．

問題3：不存在．理由：

要使四邊形PQBA是正方形，則四邊形PQBA一定是矩形．

由問題2知當t＝6時，四邊形PQBA是矩形．

此時AP＝t＝6≠8，即AP≠AB，

所以按已知速度運動，四邊形PQBA只能是矩形，但不可能是正方形．

問題4：當△DQC是等腰三角形時，分三種情況：

①如圖1，當QC＝DC時，即2t＝10，∴t＝5．

②如圖2，當DQ＝DC時，過點D作DH⊥CQ，

則QH＝CH＝CQ＝t．

在Rt△DHC中，DH＝8，CH＝BC－AD＝6，

∴DC＝＝10，

∴t＝6．

③如圖3，當QD＝QC時，過點D作DH⊥CQ，DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝2t－6．

在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2．

∴82＋（2t－6）2＝（2t）2．

解得t＝．

綜上，當t＝5或6或時，△DQC是等腰三角形．