Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB＝，tan∠ABC＝2，點E從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設運動時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉一個角α（α＝∠BCD），得到對應線段CF．

（1）求證：BE＝DF；

（2）當t＝　 　秒時，DF的長度有最小值，最小值等于　 　；

（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當t為何值時，△EPQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）t＝（6+6），最小值等于12；（3）t＝6秒或6秒時，△EPQ是直角三角形

【解析】

（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，結合DC＝BC、CE＝CF證△DCF≌△BCE即可得；

（2）作BE′⊥DA交DA的延長線于E′．當點E運動至點E′時，由DF＝BE′知此時DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP＝90°時，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根據AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；

②∠EPQ＝90°時，由菱形ABCD的對角線AC⊥BD知EC與AC重合，可得DE＝6.

（1）∵∠ECF＝∠BCD，即∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，

∴∠DCF＝∠BCE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC＝BC，

在△DCF和△BCE中，

,

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴DF＝BE；

（2）如圖1，作BE′⊥DA交DA的延長線于E′．

當點E運動至點E′時，DF＝BE′，此時DF最小，

在Rt△ABE′中，AB＝6，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，

∴設AE′＝x，則BE′＝2x，

∴AB＝x＝6，x＝6，

則AE′＝6

∴DE′＝6+6，DF＝BE′＝12，

時間t=6+6，

故答案為：6+6，12；

（3）∵CE＝CF，

∴∠CEQ＜90°，

①當∠EQP＝90°時，如圖2①，

∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，

∴∠CBD＝∠CEF，

∵∠BPC＝∠EPQ，

∴∠BCP＝∠EQP＝90°，

∵AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，

∴DE＝6，

∴t＝6秒；

②當∠EPQ＝90°時，如圖2②，

∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，

∴EC與AC重合，

∴DE＝6，

∴t＝6秒，

綜上所述，t＝6秒或6秒時，△EPQ是直角三角形．