Question

閱讀下面的情景對話，然后解答問題：
老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．
小華：等邊三角形一定是奇異三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？
（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”這句話是對還是錯？

對

（2）在Rt△ABC中，兩邊長分別是a=5

2

、c=10，這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求（b+c）：a的值．

Answer 1

分析：（1）根據題中所給的奇異三角形的定義直接進行判斷即可；
（2）分c是斜邊和b是斜邊兩種情況，再根據勾股定理判斷出所給的三角形是否符合奇異三角形的定義；
（3）先根據勾股定理得出Rt△ABC各邊之間的關系，再根據此三角形是奇異三角形可用a表示出b、c的值，代入（b+c）：a進行計算．

解答：解：（1）對   （填對或錯）（2分）

（2）①當c為斜邊時，b=

c2-a2

=5

2

∴a=b
∴a²+c²≠2b²（或b²+c²≠2a²），
∴Rt△ABC不是奇異三角形．
②當b為斜邊時，b=

c2+a2

=5

6

，
∵a²+b²=200
∴2c²=200
∴a²+b²=2c²
∴Rt△ABC是奇異三角形．    （2分）

（3）（6分）
在Rt△ABC中，a²+b²=c²，
∵c＞b＞a＞0
∴2c²＞a²+b²，2a²＜b²+c²，
∵Rt△ABC是奇異三角形，
∴a²+c²=2b²（3分）
∴2b²=a²+（a²+b²），
∴b²=2a²得b=

2

a
∵c²=a²+b²=3a²，
∴c=

3

a
∴（b+c）：a=（

2

a+

3

a）：a=

2

+

3

．

點評：本題考查的是勾股定理的應用，在解答（2）時要注意分類討論．