Question

【題目】(1)如圖①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠A=40°，求∠BOC的度數；

(2)如圖②，△A′B′C′的外角平分線相交于點O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度數；

(3)上面(1)(2)兩題中的∠BOC與∠B′O′C′ 有怎樣的數量關系?若∠A=∠A′=n°，∠BOC與∠B′O′C′ 是否還具有這樣的關系?這個結論你是怎樣得到的?

Answer 1

【答案】(1)110° ; (2)70° ; (3)互補.

【解析】

（1）先根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數，再根據BO、CO分別平分∠ABC與∠ACB求出∠OBC+∠OCB的度數，由三角形內角和定理即可得出∠BOC的度數．
（2）利用三角形的內角和以及外角和性質即可進行解答；
（3）根據三角形內角和定理和角平分線定義，（3）由前兩問提供的思路，進一步推理．

解：（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×140°=70°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°；

（2）因為∠A的外角等于180°-40°=140°，
△A′B′C′另外的兩外角平分線相交于點O′，
根據三角形的外角和等于360°，
所以∠1+∠2=×（360°-140°）=110°，
∠B′O′C′=180°-110°=70°；
（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′=110°+70°=180°，∴∠BOC與∠B′O′C′互補；
證明：當∠A=n°時，∠BOC=180°-[（180°-n°）÷2]=90°+，
∵∠A′=n°，∠B′O′C′=180°-[360°-（180°-n°）]÷2=90°-，
∴∠A+∠A′=90°++90°-=180°，∠BOC與∠B′O′C′互補，
所以當∠A=∠A′=n°，∠BOC與∠B′O′C′還具有互補的關系．